Ceny opcí přímo souvisí s pravděpodobnostním rozdělením ceny podkladu při expiraci. Tento fakt si lze potvrdit jednoduchou úvahou, že i call/put opce s striky vyšší/nižší než je momentální cena podkladu a nenulovou dobou do expirace mají jistou hodnotu.

Tato hodnota se nazývá časová hodnota. Příklad: Mějme akcii ABC s momentální cenou 100. Na tuto akcii existuje call opce se strikem 120. Pokud by tato opce expirovala dnes tak je bezcenná, jelikož 120>100.

To však neplatí, pokud by tato call opce měla čas do expirace 1 měsíc. To z toho důvodu, že během toho měsíce je nenulová pravděpodobnost, že cena akcie ABC vyšplhá např. na 150 a náhle bude tato opce uplatnitelná se ziskem. Cenu call opce lze formálně vyjádřit takto:

Jediné co toto vyjádření říká je, že cena opce je rovna očekávané hodnotě (červená) payoutu dané opce (modrá) diskontovaného k současnosti (zelená). Červená a modrá dohromady vyjadřují pravděpodobností vážený zisk z uplatnění opce v expiraci.

Pravděpodobností vážený zisk z uplatnění znamená součet všech pravděpodobností, že cena akcie v expiraci bude S_t vynásobená ziskem z uplatnění opce v případě, že cena akcie bude S_t. Fuha to je slov. Když si to přečtete ještě dvakrát tak to smysl začne dávat.

Takže z toho postřehu nahoře lze říct, že do ceny opce je nějakým způsobem zahrnuta i pravděpodobnost, že se bude akcie ABC obchodovat na nějakých cenách za 1 měsíc. Jak však tuto pravděpodobnost z těch opcí vyšťourat ?

Někdo může navrhnout, že cena call opcí je tedy nějakým způsobem úměrná pravděpodobnosti, že cena akcie vyšplhá k realizační ceně dané opce. To však není pravda, jelikož do ceny call opce jsou zahrnuty očekávané hodnoty payoutů pro všechny expirační ceny akcie nad strikem opce

Tudíž je nutné uvažovat nějakou opční strukturu, která bude při expiraci v zisku pouze pokud cena akcie dojde na nějakou úroveň, ale ne výše. Tzn. bude profitovat pouze pokud bude cena akcie při expiraci na nějaké specifické ceně.

Jednou takovou strukturou je tzv. long butterfly. (fly zkráceně) Ta spočívá v nákupu call opce s strikem X1, prodeji dvou call opcí se strikem X2 a nákupem call opce s strikem X3. Tato struktura bude profitovat v případě, že cena akcie v expiraci bude blízko X2.

Maximální potenciální profit této strategie je polovina šířky mezi striky X1 a X3 snížena o cenu struktury při inicializaci a transakční náklady. Z ceny butterfly struktury lze získat pravděpodobnost, že cena akcie v expiraci skončí na striku X2.

Důležitá vsuvka! Princip oceňování opcí ve smyslu hledání férové hodnoty nepracuje s reálnými pravděpodobnostmi, ale s tzv. rizikově neutrálními pravděpodobnostmi.

Ty fungují na základě předpokladu, že investoři jsou indiferentní riziku. Vážená mince, která vyplatí 100 CZK když padne strana A s pravděpodobností 40% a 0 CZK když padne strana B s pravděpodobností 60%. Riziku indiferentní investor by zaplatil přesně 100*0,4= 40 CZK za hod.

Tato úvaha říká, že férová cena butterfly struktury je její payout vynásoben pravděpodobností payoutu. (Pro zjednodušení ignorujeme zkosené části payoutu mezi krajními a prostředními striky) Jednoduchou úpravou pak získáme pravděpodobnost pro cenu X2 z trhem kotovaných opcí.

Abychom zjistili pravděpodobnost pro všechny možné ceny akcie při expiraci opakujeme tento proces pro všechny butterfly struktury s nejužší možnou vzdáleností striků napříč všemi striky a spočítáme jejich cenu. Z těch pak spočítáme pravděpodobnost jako (Cena / max. payout).

Vyjde nám z toho hromada diskrétních hodnot pravděpodobností pro různé ceny akcie při expiraci. Ty je pak potřeba vyhladit a interpolovat abychom ve finále dostali takovouto nějakou křivku:

Potenciální problémy s touto metodou na které je potřeba dávat pozor. Jelikož pracujeme s cenami opcí které mohou mít široké bid-ask spready, je možné, že některé pravděpodobnosti vyjdou nulové nebo dokonce záporné. To samozřejmě nedává smysl.

Proto je potřeba pracovat pouze s tituly, které mají dostatečně likvidní opce s úzkými spready. Opce, které jsou daleko OTM nebo hluboko ITM mají vždy širší spready a tudíž se fit rozpadá pro vzdálené ceny. Tento model je ve zkratce pouze taková street smart verze.

Jelikož nepočítá s hromadou věcí a využívá také hodně zjednodušení. V praxi se používají mnohem sofistikovanější metody, které pracují s vlastními modelovými IV. Modelování IV je doslova olympijský sport financí. Jednou z často používaných metod je Breeden-Litzenberger.

Hodně lidí kouká na metriky jako je put/call ratio apod. Ty samozřejmě mají také svůj užitek, ale můžete vidět, že například proti této metodě mají podstatně menší vypovídací hodnotu. To, že někdo nakupuje víc call nebo put opcí ještě nemusí znamenat, že spekulují na směr. ✌️

* Ještě bych doplnil. Dobrý use-case této metody je při vyhodnocování pravděpodobnosti mergerů a akvizic. Můžete si tak porovnat svoji osobní (názor) pravděpodobnost, že proběhne nějaká akvizice s názorem trhu a podle toho si vsadit.